Atelier d'architecture / Calcul de poutres en béton armé

Il se trouve que des visiteurs essayent d'utiliser ces formules pour des projets réels sans passer par un ingénieur ou un bureau d'études. La calculatrice est maintenant hors-ligne car ma responsabilité ne peut être engagée dans de tels cas. Ce logiciel était un programme expérimental pour des projets théoriques en école d'architecture -- pour donner aux étudiants une idée de l'incidence spatiale (taille, volume) de leurs structures.

Si vous êtes étudiant en architecture, vous pouvez utiliser les formules ci-dessous pour calculer vos poutres théoriques. Mais c'est mieux de consulter vos manuels de Statique et Résistance des matériaux.

Comment calculer une poutre ou une dalle

matériau	E, bar	σ, bar	τ, bar	D, kg/m3
acier	2,1*10⁶	1600	1000	7850
béton industriel¹	1,2*10⁵	100	35	2500
béton artisanal²	1,2*10⁵	80	35	2500
chêne	10⁵	100	30	750
sapin	10⁵	80	30	650

1. béton armé toupie
2. béton armé mélangé sur place

Lettres utilisées :
L : longueur de la poutre/dalle, cm
h : hauteur de la poutre/dalle, cm
b : largeur de la base de la poutre, cm
D : densité du matériau de la poutre, kg/m3
d : densité en kg/cm3, soit d=D/(100*100*100)
Q : poids maximal admissible au mètre linéaire de poutre, kgf/ml
q : poids en kgf/cm, soit q=Q/100

K : nombre obtenu par K = q/b, le résultat minimal des trois formules (contrainte, flèche, effort tranchant). L'unité de K est le bar.

E : module d'élasticité, bar
I : module d'inertie, cm4
σ : contrainte maximale admissible de flexion, bar
τ : contrainte maximale admissible de cisaillement, bar
λ : rapport L/h
f : flèche maximale admissible, cm
β : rapport L/f
μ : coefficient pour le type de poutre (2 pour 2 appuis, 1 pour console)
α : coefficient pour le type de poutre (9,6 pour 2 appuis, 4 pour console)

Le calcul des dimensions d'une poutre ou dalle se fait par trois formules différentes - de la flèche, de la contrainte et de l'effort tranchant, et on prend les dimensions les plus grandes.

La seule charge prise en compte est la charge uniformément répartie, et seule est calculée la section de béton pour résister à la compression et au cisaillement. En effet les étudiants en architecture ont besoin le plus souvent de ce calcul. Notamment, les diamètres des aciers travaillant à la traction ne sont pas calculés, comme ils n'ont pas d'incidence spatiale.

A noter que le risque de flambement n'est pas pris en compte, il est donc conseillé de choisir un rapport h/b<2.

Formules de départ :

Moment fléchissant, Effort tranchant et Module d'inértie, pour une poutre de section rectangulaire : $M_{max} = {q \times L^2 \over 2 \times \mu^2 } \hspace9 ;\hspace9 T_{max} = { q \times L \over \mu } \hspace9 ; \hspace9 I = { b \times h^3 \over 12} \hspace9 ; \hspace9 \lambda = { L \over h }$

Formule de la flèche :
$f_{max} = {L \over \beta } = { M_{max} \times L^2 \over \alpha \times E \times I } = { ( q \times L^2 ) \times L^2 \times 12 \over 2 \times \mu^2 \times \alpha \times E \times b \times h^3 }$ soit $Kf = {q \over b} = {h^3 \over L^3} \times {\mu^2 \times \alpha \times E \over 6 \times \beta }$ $Kf= { \mu^2 \times \alpha \times E \over 6 \times \beta \times \lambda^3 }$

Formule de la contrainte :
$\sigma_{max} = { M_{max}\times h \over 2 \times I } = { (q \times L^2) \times h \times 12 \over (2\times \mu^2) \times 2\times b\times h^3 }$ soit $Kc={q\over b}={ h^2 \over L^2}\times {\sigma_{max}\times \mu^2 \over 3 }$ $Kc= {\sigma_{max}\times \mu^2 \over 3\times \lambda^2}$

Formule de l'effort tranchant :
$\tau = {3\times T_{max} \over 2 \times S} = { 3 \times q \times L \over 2 \times b \times h \times \mu}$ soit $Kt = {q\over b}={h\over L}\times {2 \times \tau \times \mu \over 3}$ $Kt= {2 \times \tau \times \mu \over 3 \times \lambda}$

Coefficient K = min (Kf, Kc, Kt)

Poids propre au centimètre linéaire de la poutre : p = b × h × d

Formules générales
$b={q_{total} \over K} = {q+p\over K} ={q\over K}+{b \times h \times d \over K}$ donc $b \times $1 - {h \times d \over K}$ = {q\over K}$ soit $b = { {q \over K} \over 1 - {h \times d\over K} } = {q \over K-h\times d}$

Si une partie de la dalle d'épaisseur e est intégrée dans la poutre, il faut soustraire le poids du volume commun:
$b={q_{total} \over K} = {q+p\over K} ={q\over K}+{b \times (h-e) \times d \over K}$ donc $b \times $1 - {(h-e) \times d \over K}$ = {q\over K}$ donc $b = { {q \over K} \over 1 - {(h-e) \times d\over K} }$ enfin... ${ b = {q \over K-(h-e)\times d } }$

Ouf! Avec cette dernière formule, vous pouvez choisir les différentes hauteurs de poutre et obtenir les largeurs de base correspondantes.

Bibliographie

CHARUE Bernard, Statique et résistance des matériaux, EAPB, Paris, 1997 (polycopié pour le cours de première année)
DELEBECQUE R., Bâtiment 1: Dessin, Delagrave, Paris, 1991
DELEBECQUE R., Bâtiment 2: Elements de construction, Delagrave, Paris, 1991

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